Integrales: Sustitución Trigonométrica

 La integración por sustitución trigonométrica es una técnica para resolver integrales que involucran expresiones algebraicas con raíces cuadradas o cuadrados de funciones trigonométricas. Se basa en la sustitución de una variable trigonométrica específica para simplificar la integral.

Para aplicar esta técnica, se elige una sustitución adecuada, generalmente utilizando una identidad trigonométrica para expresar la función original en términos de una función trigonométrica más simple. Luego, se resuelve la integral con la nueva variable y se revierte la sustitución al final.

Ejemplo: Calcular ∫(1 - x^2)^(3/2) dx. Usando la sustitución x = sin(θ), el diferencial se convierte en dx = cos(θ) dθ. Sustituyendo en la integral, se obtiene ∫(1 - sin^2(θ))^(3/2) cos(θ) dθ. Aplicando la identidad trigonométrica cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ), la integral se simplifica a ∫cos^2(θ) cos(θ) dθ. Resolviendo esta integral más manejable, se obtiene (1/3)cos^3(θ) + C. Finalmente, volviendo a la variable original, la solución es (1/3)cos^3(arcsin(x)) + C.