Portafolio Digital de Cálculo Integral

 Los sólidos de revolución son figuras tridimensionales que se obtienen al girar una curva alrededor de un eje en el plano. En cálculo integral, se utilizan para calcular volúmenes de objetos tridimensionales mediante la integración. Se basa en encontrar el área de secciones transversales perpendiculares al eje de revolución y luego integrar esas áreas a lo largo del intervalo de la curva. Ejemplo: Si giramos la función f(x) = x^2 alrededor del eje x, se forma un sólido de revolución conocido como "paraboloide". Para calcular su volumen en el intervalo de 0 a 2, usamos la fórmula V = ∫(0 a 2) πf(x)^2 dx = ∫(0 a 2) πx^4 dx. Resolviendo la integral, obtenemos (32π/5) unidades cúbicas. Por lo tanto, el volumen del paraboloide es (32π/5) unidades cúbicas.

Ejercicios de aplicación: área bajo la curva.

El cálculo integral se aplica para calcular el área bajo una curva en un intervalo específico. Esta aplicación es útil para encontrar el área de regiones planas que están delimitadas por una función y el eje de coordenadas. Ejemplo: Supongamos que tenemos la función f(x) = 2x + 1 en el intervalo de 0 a 4. Para calcular el área bajo la curva en ese intervalo, se realiza la integral definida: ∫(0 a 4) (2x + 1) dx. Resolviendo la integral, obtenemos (x^2 + x) evaluado desde 0 hasta 4. Sustituyendo los límites, el área es (4^2 + 4) - (0^2 + 0) = 20 unidades cuadradas. Por lo tanto, el área bajo la curva de la función es 20 unidades cuadradas.

 La integración por fracciones parciales es una técnica utilizada para descomponer una fracción compleja en fracciones más simples y fáciles de integrar. Se aplica principalmente a funciones racionales, donde el grado del numerador es menor o igual al grado del denominador. El proceso de integración por fracciones parciales implica descomponer la función racional en una suma de fracciones con denominadores irreducibles. Luego, se encuentra el valor de las constantes desconocidas utilizando métodos algebraicos. Ejemplo: Calcular la integral ∫(3x + 1)/(x^2 + 2x) dx utilizando fracciones parciales. Primero, descomponemos la fracción en dos términos: ∫(3x + 1)/(x^2 + 2x) dx = ∫A/x dx + ∫B/(x + 2) dx. Después, hallamos los valores de A y B mediante comparación y obtenemos A = 1 y B = 2. Finalmente, integramos ambas fracciones por separado: ∫1/x dx = ln|x| y ∫2/(x + 2) dx = 2ln|x + 2|. La solución completa es ln|x| + 2ln|x + 2| + C, donde C es la constante de integración.

 La integración por sustitución trigonométrica es una técnica para resolver integrales que involucran expresiones algebraicas con raíces cuadradas o cuadrados de funciones trigonométricas. Se basa en la sustitución de una variable trigonométrica específica para simplificar la integral. Para aplicar esta técnica, se elige una sustitución adecuada, generalmente utilizando una identidad trigonométrica para expresar la función original en términos de una función trigonométrica más simple. Luego, se resuelve la integral con la nueva variable y se revierte la sustitución al final. Ejemplo: Calcular ∫(1 - x^2)^(3/2) dx. Usando la sustitución x = sin(θ), el diferencial se convierte en dx = cos(θ) dθ. Sustituyendo en la integral, se obtiene ∫(1 - sin^2(θ))^(3/2) cos(θ) dθ. Aplicando la identidad trigonométrica cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ), la integral se simplifica a ∫cos^2(θ) cos(θ) dθ. Resolviendo esta integral más manejable, se obtiene (1/3)cos^3(θ) + C. Finalmente, volviendo a la variable or...

 La integración de funciones trigonométricas se refiere a la resolución de integrales que involucran funciones trigonométricas, como seno, coseno, tangente, etc. Para realizar estas integrales, se utilizan identidades trigonométricas y técnicas de sustitución o trigonométricas específicas. Para integrar funciones trigonométricas, se pueden aplicar las siguientes identidades comunes: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C ∫cos(x) dx = sin(x) + C ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C (ln representa el logaritmo natural) Si la integral involucra potencias o productos de funciones trigonométricas, se pueden emplear técnicas como la sustitución trigonométrica o la trigonometría inversa. Ejemplo: Calcular ∫(2sin(x) + cos(x)^2) dx. Usando las identidades, se resuelve como ∫2sin(x) dx + ∫cos(x)^2 dx = -2cos(x) + ∫(1 - sin(x)^2) dx = -2cos(x) + x + (1/2)sin(2x) + C, donde C es la constante de integración.